Phys. N° 12 : Oscillations Forcées. Résonance d'amplitude

 

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I- Oscillations forcées.

1)- Étude expérimentale.

2)- Définition.

II- Oscillations forcées d’un pendule élastique.

1)- Détermination de la période propre T0 de l’oscillateur (le résonateur).

2)- Régime forcé avec amortissement faible.

3)- Régime forcé avec amortissement important.

4)- Courbe de réponse.

5)- Acuité de la résonance.

6)- Facteur de qualité.

7)- Aspect énergétique.

III- Additif.

IV- Applications.

1)- L’essorage d’une machine à laver.

2)- Exercice 5 page 203.

3)- Exercice 6 page 203.

4)- Exercice 18 page 206. En relation avec la séance de travaux pratique. Oscillateur élastique.

 


Matériel :

 G.B.F (polysource), Haut-parleur, ressort de constante de raideur k = 63 N / m, masse marquée m = 200g.

 Stroboscope et oscilloscope.

 

 

I- Oscillations forcées.

1)- Étude expérimentale.

-    La membrane et la bobine d’un H.P constituent un oscillateur mécanique. Il possède une fréquence propre de vibration f0.
-    Si on alimente la bobine avec un G.B.F, la membrane vibre avec une fréquence f qui est celle de la tension excitatrice (vérification faite à l’aide d’un stroboscope.
-    Schéma de l’expérience.

 

-    La membrane vibre à la fréquence imposée par la tension excitatrice. Elle effectue des oscillations forcées.

2)- Définition.

-    Un oscillateur mécanique (résonateur) est en régime forcé si un excitateur lui impose une fréquence f de vibrations (qui ne coïncide pas en général avec la fréquence propre f0 du résonateur).

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II- Oscillations forcées d’un pendule élastique.

1)- Détermination de la période propre T0 de l’oscillateur (le résonateur).

On utilise un ressort de raideur k = 63 N / m auquel on suspend une masse m = 200 g.
On écarte la masse marquée de sa position d’équilibre et on mesure la durée de dix oscillations.
-    On détermine la valeur de la période propre de l’oscillateur.
-     
-    On peut déterminer la valeur à l’aide de la relation suivante :
-     
-    les valeurs sont cohérentes.
-    Cette étude permet de vérifier que l’on utilise bien le bon ressort.

2)- Régime forcé avec amortissement faible.

-    On accroche l’oscillateur précédent à la membrane du H.P.
-    On règle le G.B.F sur 10 x mHz et on affiche 500. Puis on détermine la valeur de la fréquence de vibration du dispositif.
-    Schéma du montage.

 

-    Le pendule élastique effectue des oscillations forcées à la fréquence f imposée par le G.B.F.
*     Maintenant, on augmente lentement la fréquence de l’excitateur et on observe le comportement du pendule élastique (le résonateur).
-    L’amplitude des oscillations du pendule élastique (résonateur) dépend de la fréquence f de l’excitateur.
-    Cette amplitude est maximale lorsque f0f. On dit que le résonateur entre en résonance.

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3)- Régime forcé avec amortissement important.

-    Schéma du dispositif.

 

-    Pour un amortissement important, le phénomène de résonance disparaît pratiquement. L’acuité de la résonance dépend de l’amortissement. Plus l’amortissement est faible et plus la résonance est aiguë et inversement.

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4)- Courbe de réponse.

-    Le résonateur est caractérisé par sa courbe de réponse donnant l’amplitude des oscillations en fonction de la fréquence délivrée par l’excitateur : xm = f (f).
-    Courbe de réponse :

 

-    Remarque : si l’amortissement est faible, la résonance est aiguë,
-    Si l’amortissement est fort, la résonance est floue.
-    Si l’amortissement est faible : fRf0 avec fR < f0.

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5)- Acuité de la résonance.

-    Un résonateur est caractérisé par sa bande passante à 3 décibels (3 dB).
-    La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude xm est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par .
-    En conséquence :
-    Δf = f2f1 représente la bande passante.

6)- Facteur de qualité.

-    On définit aussi le facteur de qualité pour un résonateur :
-     
-    Si Q > 10, la résonance est aiguë.

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7)- Aspect énergétique.

-    L’énergie est fournie au résonateur avec une fréquence imposée par l’excitateur.
-    À la résonance, l’énergie transmise au résonateur par l’excitateur est maximale.
-    Schéma.

 

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III- Additif.

-    L’origine de l’expression bande passante à 3 dB découle de la définition du niveau d’intensité efficace GdB.
-    I représente l’intensité efficace
-    I0 représente l’intensité efficace à la résonance.
-     
-    pour :
-     
-    pour les fréquences de la bande passante :
-     

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IV- Applications.

1)- L’essorage d’une machine à laver.

a)-  Énoncé :

-    Lors de l’essorage, le tambour d’une machine à laver le linge effectue 600 tr / min.
-    La cuve du lave-linge, de masse m1 = 6 kg est suspendue grâce à un système élastique équivalent à un ressort de raideur k = 3 x 104 N / m. on note m2 la masse de linge à laver.

b)-  Déterminer la masse m2 de linge correspondant à une fréquence propre f0 = 10 Hz.

-    Période propre du résonateur.
-    Le résonateur est un oscillateur élastique constitué d’un ressort de raideur k et d’une masse :
-    m = m1 + m2
-     
-    masse de linge correspondant à cette fréquence.
-    (1)  et
-    m = m1 + m2  (2)
-    En combinant (1) et (2) :
-     

c)-  que se passe-t-il lors de l’essorage de cette masse de linge à cette fréquence ?

-    Si m2 = 1,6 kg, la fréquence imposée par l’excitateur est égale à la fréquence propre du résonateur. Il se produit le phénomène de résonance d’amplitude.
-    Si le système n’est pas amorti ou si l’amortissement est faible, le phénomène de résonance est important.
-    Le mouvement de la cuve est oscillatoire et de grande amplitude : cela va occasionner des vibrations gênantes, le mouvement de la machine et du bruit.
-    Pour limiter ce phénomène, il faut augmenter l’amortissement et installer des amortisseurs.

d)-  Même question pour m2 = 1,6 kg et m2 = 5 kg.

-    Si m2 = 1,6 kg ou m2 = 5 kg, f0 ¹ f la fréquence imposée par l’excitateur est différente de la fréquence propre du résonateur.
-    Les oscillations de la cuve sont de faibles amplitudes.

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2)- Exercice 5 page 203.

1)- Valeur de la fréquence de résonance :

-    Détermination graphique
-    fR ≈ 25 Hz

2)- Largeur de la bande passante à 3 dB

-    La bande passante à 3 dB est l’ensemble des fréquences pour lesquelles l’amplitude xm est supérieure à l’amplitude à la résonance divisée par .
-    En conséquence : xm ≥ 1,4 cm
-    Δf = f2f1 représente la bande passante.
-    f1 ≈ 16 Hz
-    f2 ≈ 33 Hz
-    Δf ≈ 17 Hz

 

 

 

 

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3)- Exercice 6 page 203.

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4)- Exercice 18 page 206. En relation avec la séance de travaux pratique. Oscillateur élastique.

 

 
 

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